Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，∠ABC=30°，PA=AB．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設⊙O所在的平面為α，證明PA⊥BC，AC⊥BC，然后證明BC⊥平面PAC，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）設AC=1，則PA=AB=2，在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于連結DE，推導出AD⊥PC，AD⊥PB，PB⊥ED，從而∠DEA即為二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 證明：（1）設⊙O所在的平面為α，
依題意，PA⊥α，BC?α，∴PA⊥BC，
∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的一點，∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）∵PA⊥平面ABC，設AC=1，∵∠ABC=30°∴PA=AB=2
 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于連結DE
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AD⊥PC
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PB，
又∵PB⊥AE，∴PB⊥面AED，∴PB⊥ED，
∴∠DEA即為二面角A-PB-C的平面角，
在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，
分別由等面積方法求得
AD=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AE=$\frac{2×2}{\sqrt{4+4}}$=$\sqrt{2}$，
∴在直角三角形ADE中，sin∠DEA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即二面角A-PB-C的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力