Question

已知圓C的方程為x²+y²-6x-2y+5=0，過點(diǎn)P（2，0）的動(dòng)直線l與圓C交于P₁，P₂兩點(diǎn)，過點(diǎn)P₁，P₂分別作圓C的切線l₁，l₂，設(shè)l₁與l₂交點(diǎn)為M，求證：點(diǎn)M在一條定直線上，并求出這條定直線的方程．

Answer 1

分析：設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），由切線的性質(zhì)，可得MP₁⊥CP₁，進(jìn)而得到（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，由MP₂⊥CP₂，可得（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5，即過點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，將點(diǎn)P（2，0）代入化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M所在定直線的方程．

解答：解：⊙C：（x-3）²+（y-1）²=5的圓心C為（3，1）．…（1分）
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），…（2分）
因?yàn)镻₁M與圓C相切，所以MP₁⊥CP₁．  …（4分）
所以（x₁-x₀）（x₁-3）+（y₁-y₀）（y₁-1）=0，
即（x₁-3）²+（3-x₀）（x₁-3）+（y₁-1）²+（1-y₀）（y₁-1）=0，…（6分）
因?yàn)椋▁₁-3）²+（y₁-1）²=5，
所以（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，…（8分）
同理（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5．
所以過點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5．…（10分）
因直線P₁P₂過點(diǎn)（2，0）．
所以代入得（2-3）（x₀-3）+（0-1）（y₀-1）=5，
即x₀+y₀+1=0．
所以點(diǎn)M恒在直線x+y+1=0上．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)，直線方程，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，其中根據(jù)已知結(jié)合切線的性質(zhì)，得到過點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，是解答的關(guān)鍵．