Question

13．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把△ACD與折起，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 先利用基本不等式，確定矩形周長(zhǎng)最小時(shí)，矩形為正方形，求得邊長(zhǎng)，再利用沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球的球心為AC的中點(diǎn)，求得半徑，根據(jù)球的體積公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為x、y，則xy=8，
矩形周長(zhǎng)為2（x+y）≥4$\sqrt{xy}$=8$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2$\sqrt{2}$時(shí)，矩形周長(zhǎng)最小，
沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球的球心為AC的中點(diǎn)，
∵AC=4，∴球的半徑為2，
∴三棱錐D-ABC的外接球的體積等于$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}π$．
故答案為：$\frac{32}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的外接球的體積的求法，解題的關(guān)鍵是確定矩形周長(zhǎng)最小時(shí)，矩形為正方形，求得邊長(zhǎng)，再利用沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球的球心為AC的中點(diǎn)，求得半徑．