Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=120°，PA=PD，E為PB的中點．
（1）證明：PD∥面ACE；
（2）若點P在面ABCD的射影在AD上，且BD與面ACE所成角為$\frac{π}{3}$，求PB．

Answer 1

分析 （1）連接BD，交AC于F，連接EF，則EF∥PD，即可證明PD∥面ACE；
（2）建立坐標系，求出平面ACE的一個法向量，利用BD與面ACE所成角為$\frac{π}{3}$，求PB．

解答 （1）證明：連接BD，交AC于F，連接EF，則EF∥PD．
∵PD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴PD∥平面ACE；
（2）解：設(shè)AD 的中點為O，連接PO．
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
∵點P在面ABCD的射影在AD上，
∴PO⊥平面ABCD．
∵∠ABC=120°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BO⊥AD．
建立如圖所示的坐標系，設(shè)OP=λ（λ＞0），則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{λ}{2}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{λ}{2}$），
設(shè)平面ACE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{λ}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{λ}$），
∵BD與面ACE所成角為$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{1}{{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．