Question

7．已知向量$\overrightarrow m=（{sinx，1}），\overrightarrow{\;n}=（{\sqrt{3}Acosx，\frac{A}{2}cos2x}）（{A＞0}）$，函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值為6．
（1）求A的值及函數圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標；
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在$[{0，\frac{5π}{24}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積公式和三角形函數的化簡求出f（x），再求出對稱軸方程和對稱中心坐標，
（2）根據圖象的變換可得g（x），再根據正弦函數的性質求出函數的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinx，1}），\overrightarrow{\;n}=（{\sqrt{3}Acosx，\frac{A}{2}cos2x}）（{A＞0}）$，
∴$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$Asinxcosx+$\frac{A}{2}$cos2x=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值為6，
∴A=6，
∴對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}\;，\;k∈Z$，對稱中心坐標為$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$；
（2）∵函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，
再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，
∴$g（x）=6sin（4x+\frac{π}{3}）$，
∵x∈$[{0，\frac{5π}{24}}]$，
∴4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴值域為[-3，6]．

點評 本題考查了平面向量的數量積及三角函數的化簡與其性質的應用，屬于中檔題．