Question

給出如下四個(gè)命題：①回歸直線方程y=

b

x+

a

必過(guò)點(diǎn)(

.

x

，

.

y

)；②冪函數(shù)y=（m²-m-1）x^1-m在R上是減函數(shù)；③“a，b∈[0，1]”是“函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π有兩相異極值點(diǎn)的概率為

1

2

”的充要條件；④命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定為“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：第①個(gè)命題說(shuō)明回歸直線通過(guò)樣本中心點(diǎn)．
②：由冪函數(shù)的概念判斷出m²-m-1等于1；列出等式求出m，再根據(jù)象關(guān)于y軸對(duì)稱驗(yàn)證其指數(shù)為偶數(shù)．再判斷其單調(diào)性；
③：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件，得出關(guān)于a，b的約束條件，在a-o-b坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，再利用幾何概型求出兩者的面積比即可．
④：特稱命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是：把?改為?，其它條件不變，然后否定結(jié)論，變?yōu)橐粋�(gè)特稱命題．即“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．

解答：解：對(duì)于①，已知n個(gè)散點(diǎn)A_i（x_i，y_i），（i=1，2，3，…，n）的線性回歸方程為

y

=bx+a，若a=

.

y

-b

.

x

，（其中

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi），則此回歸直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

.

x

，

.

y

），這說(shuō)明回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，故正確．
對(duì)于②：∵冪函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^1-m
∴m²-m-1=1⇒m=-1或m=2
當(dāng)m=2時(shí)，冪函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^1-m=x^-1，
它不在R上是減函數(shù)，故錯(cuò)；
③：易得f′（x）=ax²-2bx+a，
對(duì)于函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件：
是a≠0且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a≠0且4b²-4a²＞0，
又若a，b在區(qū)間[0，1]上取值，則b＞a，
點(diǎn)（a，b）滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示，
其中正方形區(qū)域的面積為1，陰影部分的面積為

1

2

，
但反之不能成立，因?yàn)楫?dāng)a，b在區(qū)間[1，2]上取值時(shí)，也得到有兩相異極值點(diǎn)的概率為

1

2

”．故錯(cuò)．
對(duì)于④，全稱命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是特稱命題：“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．故正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、命題的否定、線性回歸方程、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．