Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a的最大值為$\sqrt{2}$．
（1）求常數(shù)a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（ωx-$\frac{π}{8}$）（ω＞0），且h（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）三角函數(shù)通過化一進行化簡，從而三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求常數(shù)a的值和f（x）的最小正周期；
（2）通過三角函數(shù)的圖象，求閉區(qū)間上的值域；
（3）知道單調(diào)區(qū)間逆求參數(shù)ω的范圍，運用子區(qū)間求出ω的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a=2cos²x+2sinxcosx+a=cos2x+sin2x+1+a
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1+a，
當(dāng)$sin（2x+\frac{π}{4}）=1$時，函數(shù)f（x）取得最大值，即$\sqrt{2}+1+a=\sqrt{2}$，∴1+a=0，故a=-1；
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=π$．
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，∵$x∈[-\frac{π}{4，}\frac{π}{4}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
故函數(shù)f（x）的值域為$[-1，\sqrt{2}]$．
（3）函數(shù)h（x）=f（ωx-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}sin[2（ωx-\frac{π}{8}）+\frac{π}{4}]=\sqrt{2}sin（2ωx）$，∵$-\frac{π}{2}+2kπ≤2ωx≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，所以h（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}，\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}]，k∈Z$，若使h（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，則只需$[-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}]⊆[-\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}，\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}]$ k∈Z．
由題意可知，k=0，從而解得$0＜ω≤\frac{1}{6}$．故ω的最大值為$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的最小正周期及最值問題，已知單調(diào)性逆求參數(shù)，屬于中檔題．