Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（A為銳角），sinBsinC=$\frac{2}{3}$，△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的向量積，以及兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由恒等式得到A，由正弦定理得到a．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間需滿足：
-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ
解得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，（k∈Z）
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]；
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（A為銳角），
∴A=$\frac{π}{3}$
∵△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，
∴bc=8
∵sinBsinC=$\frac{2}{3}$，
由正弦定理得到：$\frac{{a}^{2}}{si{n}^{2}A}$=$\frac{bc}{sinBsinC}$=12，
∴a=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考察兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，及三角形的正弦定理的應(yīng)用．