Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，從而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

解答 解：因?yàn)镾_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n）-$\frac{1}{2}$（1-a_n-1）=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，
化簡得2a_n=-a_n+a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$．
又由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁），得a₁=$\frac{1}{3}$，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
所以a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
故答案為：a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$是關(guān)鍵，考查等比關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．