已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且>2（其中O為原點），求k的取值范圍。
解：（1）設雙曲線C2的方程為
則a2=4-1=3，c2=4，
再由a2+b2=c2，得b2=1，
故C2的方程為。
（2）將代入
得（1-3k2）x2-6kx-9=0
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得

∴且k2＜1 ①
設A（x1，y1），B（x2，y2）
則
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）
=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=
又∵
得x1x2+y1y2>2
∴，即
解得 ②
由①②得
故k的取值范圍為。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
3
2
，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓C1上一點到F1和F2的距離之和為12，橢圓C2的方程為
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1，圓C3：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點Ak．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）求△AkF1F2的面積；
（III）若點P為橢圓C2上的動點，點M為過點P且垂直于x軸的直線上的點，
|OP|
|OM|
=e（e為橢圓C2的離心率），求點M的軌跡．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B，且滿足|OA|2+|OB|2＞|AB|2，（其中O為原點），求l斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C2和直線l，設計一個與x軸上某點有關的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分）．

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