Question

如圖所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，點A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B₁-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）取AB中點E，連接DE，容易證明DE，DC，DA₁三條直線兩兩垂直，所以分別以這三條直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設DA₁=t，根據(jù)告訴的邊的長度和邊的關系求出點A，B，C，A₁，C₁的坐標，從而求出

AC1

，

BC

的坐標，從而能求出

AC1

•

BC

=0，所以得出AC₁⊥BC，再根據(jù)已知的AC₁⊥BA₁，即可得出AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據(jù)兩平面所成二面角與這兩個平面法向量夾角的關系：相等或互補，所以求平面A₁BB₁，和平面A₁BC₁的法向量，設平面A₁BB₁的法向量為

m

=(x，y，z)，則

m

⊥

A1B

，

m

⊥

BB1

，根據(jù)垂直數(shù)量積為0即可求出該平面的一個法向量，同樣的方法求出平面A₁BC₁的一個法向量，然后求這兩個法向量夾角的余弦值即可．

解答： 解：如圖所示，取AB的中點E，連接DE，則DE∥BC，∵BC⊥AC，∴DE⊥AC；

又A₁D⊥平面ABC，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系；
設DA₁=t，（t＞0），則A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t）；
（Ⅰ）證明：

AC1

=(0，3，t)，

BA1

=(-2，-1，t)，

BC

=(-2，0，0)；
∴

AC1

•

BC

=0，∴

AC1

⊥

BC

，∴AC₁⊥CB，又AC₁⊥BA₁，∴AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）因為

BA1

=(-2，-1，t)，

AC1

=(0，3，t)，由BA₁⊥AC₁得t²=3，∴t=

3

；
∴

BA1

=(-2，-1，

3

)，

BB1

=

AA1

=(0，1，

3

)，

A1C1

=(0，2，0)；
設平面A₁BB₁的一個法向量為

m

=(x，y，z)，則

m • BA1 =-2x-y+ 3 z=0 m • BB1 =y+ 3 z=0

，∴x=

3

z，y=-

3

z，∴可取

m

=(

3

，-

3

，1)；同理：
可求得平面A₁BC₁的一個法向量為

n

=(

3

，0，2)，∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

5

7

；
所以，二面角B₁-A₁B-C₁的余弦值為

5

7

．

點評：考查通過建立空間直角坐標系，用向量解決立體幾何問題的方法，兩向量數(shù)量積為0的充要條件，線面垂直的判定定理，向量夾角的余弦公式，平面的法向量的概念．