(Ⅰ)求對所有實數(shù)成立的充要條件(用表示);
(Ⅱ)設為兩實數(shù),滿足,且,若,
求證:函數(shù)在區(qū)間上的單調增區(qū)間的長度和為(閉區(qū)間的長度定義為).
本小題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象以及命題之間的關系等基礎知識,考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.
解:(1)由的定義可知,(對所有實數(shù))等價于
(對所有實數(shù))這又等價于,即
對所有實數(shù)均成立. (*)
由于,故其最大值為,
故(*)等價于,即,這就是所求的充分必要條件。
(2)分兩種情形討論
(i)當時,由(1)知(對所有實數(shù)),
則由及易知,
再由的單調性可知,
函數(shù)在區(qū)間上的單調增區(qū)間的長度
為(參見示意圖1)
(ii)時,不妨設,則,于是
當時,有,從而;
當時,有
從而 ;
當時,,及,由方程
解得圖象交點的橫坐標為
⑴顯然,
這表明在與之間。由⑴易知
綜上可知,在區(qū)間上, (參見示意圖2)
故由函數(shù)及的單調性可知,在區(qū)間上的單調增區(qū)間的長度之和為,由于,即,得
⑵
故由⑴、⑵得
綜合(i)(ii)可知,在區(qū)間上的單調增區(qū)間的長度和為。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
1 |
2 |
x |
a |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
x | -1 | -0.72 | -0.44 | -0.16 | 0.12 | 0.4 |
y的近似值 | 4.00 | 1.15 | 0.02 | -0.14 | 0.11 | 0.08 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。已知函數(shù),當時,求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請說明理由;若函數(shù)在上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;若,求函數(shù)在上的上界T的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆湖北孝感高中高三年級九月調研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在上為增函數(shù),則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù),若且,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學 題型:解答題
(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。
已知函數(shù),
(1)當時,求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求函數(shù)在上的上界T的取值范圍。
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