Question

19．已知定義在$（0，\frac{π}{2}）$上的函數，f′（x）為其導函數，且$\frac{f（x）}{sinx}＜\frac{{{f^'}（x）}}{cosx}$恒成立，則（　�。�

• A． $f（\frac{π}{2}）＞2f（\frac{π}{6}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{3}）$
• D． $f（1）＜2f（\frac{π}{6}）sin1$

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的導數，得到函數g（x）的單調性，從而判斷出函數值的大小即可．

解答 解：由f′（x）sinx＞f（x）cosx，
則f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，且$\frac{f（x）}{sinx}＜\frac{{{f^'}（x）}}{cosx}$恒成立，即：$\frac{f（x）′sinx-f（x）cosx}{sinxcosx}$＞0恒成立．
g′（x）＞0，
即函數g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），
故選：C．

點評 本題考查了導數的應用，考查函數的單調性問題，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$是解題的關鍵，本題是一道中檔題．