Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F
（1）求證：AB∥EF；
（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD是菱形，得AB∥CD，利用線面平行的判定可得AB∥面PCD，再由線面平行的性質(zhì)可得AB∥EF；
（2）由PA=PD=AD=2，可得△PAD為等邊三角形，求出AD邊上的高h(yuǎn)=$\sqrt{3}$，再由平面PAD⊥平面ABCD，可得P到平面ABCD的距離為$\sqrt{3}$．然后利用等積法求得三棱錐P-AEF的體積．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB?面PCD，CD?面PCD，
∴AB∥面PCD，
又∵A、B、E、F四點(diǎn)共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF；
（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴△PAD為等邊三角形，
∴AD邊上的高h(yuǎn)=$\sqrt{3}$，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴P到平面ABCD的距離為$\sqrt{3}$．
又ABCD是菱形，且∠ABC=120°．
∴${V_{P-AEF}}={V_{E-PAF}}=\frac{1}{2}{V_{C-PAF}}=\frac{1}{4}{V_{C-PAD}}=\frac{1}{4}{V_{P-ADC}}=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•4•\sqrt{3}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．