Question

6．已知函數(shù)y=f（x），x∈R，對(duì)于任意的x，y∈R，f（x-y）=f（x）-f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：f（0）=0，且f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：y=f（x），x∈R是增函數(shù)；
（3）設(shè)f（1）=2，求f（x）在x∈[-5，5]時(shí)的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，解得f（0）=0．令x=0，可得f（-y）=-f（y），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．f（x₂-x₂）=f（x₂）-f（x₁）＞0即可證明．
（3）由（2）可知：f（x）在x∈[-5，5]時(shí)是增函數(shù)，因此最大值與最小值分別為f（5），f（-5）．由f（1）=2，可得f（2）=f（1）+f（2-1）=2f（1），同理可得f（4）=2f（2）．可得f（5）=f（1）+f（5-1），f（-5）=-f（5）．

解答 （1）證明：令x=y=0，則f（0-0）=f（0）-f（0），∴f（0）=0．
令x=0，則f（-y）=f（0）-f（y）=-f（y），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．∴f（x₂-x₂）=f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴y=f（x），x∈R是增函數(shù)．
（3）解：由（2）可知：f（x）在x∈[-5，5]時(shí)是增函數(shù)，
因此最大值與最小值分別為f（5），f（-5）．
∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（2-1）=2f（1）=4，f（4）=2f（2）=8．
f（5）=f（1）+f（5-1）=2+8=10．
∴f（-5）=-f（5）=-10．
∴f（x）在x∈[-5，5]時(shí)的最大值與最小值分別為10，-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．