Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+$\frac{4}{3}$（a，b是實(shí)數(shù)），且f′（2）=0，f（-1）=0．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，求f（x）的最大值g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)f′（2）=0，f（-1）=0得到關(guān)于a，b的方程組，即可解出a，b的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，并通過(guò)解方程f（x）=$\frac{4}{3}$，得到特殊點(diǎn)（3，$\frac{4}{3}$），然后結(jié)合函數(shù)圖象，對(duì)t分類討論，分別求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²+2ax+b
∵f'（2）=0，f（-1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+4a+b=0}\\{-\frac{1}{3}+a-b+\frac{4}{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}$，f'（x）=x²-2x=x（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜0，或x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）單調(diào)遞增，在（0，2）單調(diào)遞減，
所以f（x）_極小值=f（2）=0，$f（x）_{極大值}=f（0）=\frac{4}{3}$
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=0$，得x=-1，或x=2；
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，得x=0，或x=3．
結(jié)合單調(diào)性及極值點(diǎn)，畫(huà)出圖象如下：

結(jié)合圖象，對(duì)t分類討論：
（1）-1＜t＜0時(shí)，f（x）在[-1，t]上單調(diào)遞增，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$；
（2）0≤t＜3時(shí)，$f（x）_{max}=f（0）=\frac{4}{3}$；
（3）t≥3時(shí)，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$．
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}，-1＜t＜0，或t＞3}\\{\frac{4}{3}，0≤t≤3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，必須掌握數(shù)學(xué)中的這一重要思想方法在解決復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用，結(jié)合圖象準(zhǔn)確分類是正確解題的關(guān)鍵．