Question

5．在直角坐標系xOy中，直線l過點M（3，4），其傾斜角為45°，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），再以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系xoy有相同的長度單位．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）設曲線C與直線l交于點A，B，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用cos²θ+sin²θ=1，可得直角坐標方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得極坐標方程．
（2）直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圓的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，設A，B對應的參數分別為t₁，t₂．利用|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用cos²θ+sin²θ=1，可得直角坐標方程：x²+（y-2）²=4．展開為x²+y²-4y=0，
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得極坐標方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圓的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂．
∴t₁+t₂=-5$\sqrt{2}$，t₁•t₂=9．
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．