Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，動(dòng)直線l′垂直l于點(diǎn)H，線段HF的垂直平分線交l′于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）以曲線C上的點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀＞0）為切點(diǎn)作曲線C的切線l₁，設(shè)l₁分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，且l₁恰與以定點(diǎn)M（a，0）（a＞2）為圓心的圓相切，當(dāng)圓M的面積最小時(shí)，求△ABF與△PAM面積的比．

Answer 1

分析 （1）由丨PH丨=丨PF丨，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以l為準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線，即可求得拋物線方程；
（2）由y＞0時(shí)，求導(dǎo)，求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程，取得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）時(shí)，滿足題意的圓M的面積最小，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求得△ABF與△PAM面積的比．

解答 解（1）由題意得丨PH丨=丨PF丨，
∴點(diǎn)P到直線：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F（1，0）的距離，…（2分）
∴點(diǎn)P的軌跡是以l為準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線，
設(shè)拋物線方程y²=2px，則$\frac{p}{2}$=1，則p=2，
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x； …（4分）
（2）由y²=4x，當(dāng)y＞0時(shí)，$y=2\sqrt{x}$，∴$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴以P為切點(diǎn)的切線l₁的斜率為$k=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}$，
∴以P（x₀，y₀）（y₀＞0）為切點(diǎn)的切線為$y-{y_0}=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}（{x-{x_0}}）$
即$y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x-\frac{y_0^2}{4}}）$，整理得${l_1}：4x-2{y_0}y+y_0^2=0$…（6分）
令x=0，則y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，則B（0，$\frac{{y}_{0}}{2}$），令y=0，則x=-$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=-x₀，
A（-x₀，0），…（7分）
點(diǎn)M（a，0）到切線l的距離d=$\frac{{y}_{0}^{2}+4a}{2\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}{2}$+$\frac{2a-2}{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$≥2$\sqrt{a-1}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)y₀=2$\sqrt{a-1}$時(shí)，取等號(hào)）．
∴當(dāng)P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）時(shí)，滿足題意的圓M的面積最�。� …（9分）
∴A（2-a，0），B（0，$\sqrt{a-2}$），
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$丨1-（2-a）丨•丨$\sqrt{a-2}$丨=$\frac{1}{2}$（a-1）$\sqrt{a-2}$，
S_△PAM=$\frac{1}{2}$丨a-（2-a）丨•丨2$\sqrt{a-2}$丨=2（a-1）$\sqrt{a-2}$，…（11分）
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△PAM}}$=$\frac{1}{4}$，
△ABF與△PAM面積的比$\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查曲線切線方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．