Question

3．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的上、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為M、N和F，且△MFN的面積為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)．以AB為底作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意方程，求得c=$\sqrt{2}$b，根據(jù)三角形的面積公式，求得bc=4$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m的值，代入求得A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式及三角形的面積公式，即可求得△PAB的面積．

解答 解：（1）∵橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），c²=3b²-b²=2b²，即c=$\sqrt{2}$b，
由△MFN的面積為4$\sqrt{2}$，則$\frac{1}{2}$×2b×c=4$\sqrt{2}$，即bc=4$\sqrt{2}$，
則b=2，a²=3b²=12，
∴橢圓G的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{2}$，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，則PE⊥AB．
∴PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得m=-2，
此時(shí)方程①為4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，
∴y₁=-1，y₂=2．
∴|AB|=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（-1-2）^{2}}$=33$\sqrt{2}$．
此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d=$\frac{丨-3-2+2丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{9}{2}$，
△PAB的面積$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．