Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長度，已知圓C₁：ρ=-2cosθ，曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓C₁和曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）過圓C₁的圓心C₁且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交曲線C₂于A，B兩點(diǎn)，求圓心C₁到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，利用互化公式可得圓C₁的普通方程．由曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：曲線C₂的普通方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：C₁（-1，0）則直線l的參數(shù)方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，有$\frac{13}{4}{t}^{2}-t-3=0$，圓心C₁到A，B兩點(diǎn)的距離之積為|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，直角坐標(biāo)方程為（x+1）²+y²=1，
曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）過圓C₁的圓心C₁且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），
則直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，有$\frac{13}{4}{t}^{2}-t-3=0$，∴${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{13}$．
所以圓心C₁到A，B兩點(diǎn)的距離之積為|t₁t₂|=$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．