Question

16．已知$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=0$，結(jié)合條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，進(jìn)而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$1+\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的范圍．