Question

16．已知棱長為5的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分別為棱C₁D₁、AB、CD上一點，D₁E=AF=DG=1，球O為四面體BEFG的外接球，則平面BDD₁B₁截球O所得圓的面積為$\frac{131}{8}$π．

Answer 1

分析 在A₁B₁上取一點H，使得A₁H=1，則棱柱BCGF-B₁C₁EH為長方體，四面體BEFG的外接球即為長方體BCGF-B₁C₁EH的外接球，球心O為BE的中點，過O作OH⊥BG，垂足為K，由等面積可得K到BD的距離，求出球O的半徑，即可得出平面BDD₁B₁截球O所得圓的面積．

解答 解：在A₁B₁上取一點H，使得A₁H=1，
則棱柱BCGF-B₁C₁EH為長方體，
四面體BEFG的外接球即為長方體BCGF-B₁C₁EH的外接球，球心O為BE的中點，
過O作OH⊥BG，垂足為K，由等面積可得K到BD的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵球O的半徑R=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+{5}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{66}}{2}$，
∴平面BDD₁B₁截球O所得圓的面積為S=π（R²-d²）=$\frac{131}{8}$π．
故答案為：$\frac{131}{8}$π．

點評 本題考查圓的面積，考查學生的計算能力，正確構造，求出圓的半徑是關鍵．