Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：MB⊥平面PAD；
（2）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PD⊥MB，MB⊥AD．由此能證明MB⊥平面PAD．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由已知條件推導(dǎo)出DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離．由此能求出點(diǎn)A到平面PMB的距離．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB，
又∵底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，
∴MB⊥AD．又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．
（2）解：∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，∴點(diǎn)A與D到平面PMB等距離．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PM于H，
∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．
∴DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離．
∵DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴點(diǎn)A到平面PMB的距離為

5

5

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．