Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值及單調遞減區(qū)間．
（2）（文）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，b+c=3且f（A）=2，求角A的值．

Answer 1

考點：正弦定理,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用誘導公式及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

，求出ω的值，確定出f（x）解析式，再利用平移規(guī)律確定出g（x）解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及單調性即可確定出函數(shù)g（x）的最大值及單調遞減區(qū)間；
（2）由f（A）=2及（1）得出的f（x）解析式，求出A的度數(shù)即可．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，
令2ωx+

π

6

=

π

2

，將x=

π

6

代入可得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，函數(shù)g（x）=sin（x-

π

6

）+

3

2

，
當x=2kπ+

2

3

π，k∈Z時，函數(shù)取得最大值

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，即x∈[2kπ+

2

3

π，2kπ+

5

3

π]，k∈Z為函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（2）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∵f（A）=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，即

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，
∴A=

π

3

．

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調性及值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．