Question

（08年豐臺區(qū)統一練習一理）（13分）

 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為

.記動點C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，

求k的取值范圍；

       （Ⅲ）已知點M（），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量

與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ) 設C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………………… 2分

(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

     整理，得.         ①………………………… 5分

     因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

     ，解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分

 

（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

     由①得.                 ②

     又                ③

     因為，， 所以.……………………… 11分

     所以與共線等價于.

     將②③代入上式，解得.

     所以不存在常數k，使得向量與共線.…………………… 13分