Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$的右焦點為F（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，P是直線x=4上任意一點．求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由交點坐標，離心率可求得a、c、b，即可寫出橢圓方程；
（2）設(shè)出A，B，P，F(xiàn)的坐標，寫出直線MN的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去x，得到含y的方程，運用韋達定理和斜率公式，化簡整理，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以 b²=3
所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，n）
設(shè)直線MN的方程為：y=x-1…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：7x²-8x-8=0…（7分）
${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{8}{7}$…（8分）
${k_{PM}}+{k_{PN}}=\;\frac{{{y_1}-n}}{{{x_1}-4}}+\frac{{{y_2}-n}}{{{x_2}-4}}=\;\frac{{（{y_1}-n）（{x_2}-4）+（{y_2}-n）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$…（9分）
=$\frac{{8\;n-n（{x_1}+{x_2}）-4（{x_1}+{x_2}-2）+2{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）+16}}$
=$\frac{{8\;n-\frac{8}{7}n+\frac{24}{7}-\frac{16}{7}-\frac{8}{7}}}{{-\frac{8}{7}-\frac{32}{7}+16}}$=$\frac{2n}{3}$
因為${k_{PF}}=\frac{n}{3}$，所以2k_PF=k_PM+k_PN…（12分）
所以直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．…（13分）

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法、直線的方程和等差數(shù)列的性質(zhì)及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．