9.已知函數(shù)f(x)=4x-2x,實數(shù)s,t滿足f(s)+f(t)=0,a=2s+2t,b=2s+t
(1)當函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1]時,求f(x)的值域;
(2)求函數(shù)關(guān)系式b=g(a),并求函數(shù)g(a)的定義域D;
(3)在(2)的結(jié)論中,對任意x1∈D,都存在x2∈[-1,1],使得g(x1)=f(x2)+m成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)換元根據(jù)t=2x∈[$\frac{1}{2}$,2],g(t)=t2-t單調(diào)遞增,即可求f(x)的值域;
(2)配方得出:(2s+2t2-2•2s+t-(2s+2t)=0,a2-2b-a=0,a≥2$\sqrt$,a≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}-a}{2}}$,a>0,求解即可得出b=$\frac{{a}^{2}-a}{2}$,1<a≤2;
(3)g(x)=$\frac{1}{2}$(x2-x)∈(0,1],f(x)∈[-$\frac{1}{4}$,2],對任意x1∈D,都存在x2∈[-1,1],使得g(x1)=f(x2)+m成立,即可求實數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=4x-2x,f(x)的定義域為[-1,1]時,
∴t=2x∈[$\frac{1}{2}$,2],g(t)=t2-t單調(diào)遞增,
∵g($\frac{1}{2}$)=-$\frac{1}{4}$,g(2)=2,
∴f(x)的值域為:[-$\frac{1}{4}$,2].
(2)∵f(s)+f(t)=0,
∴4s-2s+4t-2t=0,
化簡得出:(2s+2t2-2•2s+t-(2s+2t)=0,
∵a=2s+2t,b=2s+t.2s+2t≥2$\sqrt{{2}^{s+t}}$.a(chǎn)≥2$\sqrt$
∴a2-2b-a=0,a≥2$\sqrt$,a≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}-a}{2}}$,a>0
即b=$\frac{{a}^{2}-a}{2}$,1<a≤2,D=(1,2];
(3)g(x)=$\frac{1}{2}$(x2-x)∈(0,1],f(x)∈[-$\frac{1}{4}$,2].
∵對任意x1∈D,都存在x2∈[-1,1],使得g(x1)=f(x2)+m成立,
∴(0,1]⊆[-$\frac{1}{4}$+m,2+m].
∴-1≤m≤$\frac{1}{4}$.

點評 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),配方求解,考查換元法,考查學生分析解決問題的能力,屬于綜合題.

練習冊系列答案
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