已知函數(shù) ，其中a∈R，

（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的定義域和極值；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，試確定函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

 

（Ⅰ）且；函數(shù)有極小值;（Ⅱ）函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由分母不為0，求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，知函數(shù)是先增后減再增的，又極大值為0，極小值小于0，從而判斷函數(shù)有兩面?zhèn)�零點(diǎn).

試題解析：【解析】
（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021806052621257601/SYS201502180605399161945593_DA/SYS201502180605399161945593_DA.001.png">且， 2分

．令，得．當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

－

－

＋

↘

↘

極小

↗

 

所以的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間．

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值. 5分

（Ⅱ）結(jié)論：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．證明過程如下：由題意，函數(shù)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021806052621257601/SYS201502180605399161945593_DA/SYS201502180605399161945593_DA.026.png">．所以函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021806052621257601/SYS201502180605399161945593_DA/SYS201502180605399161945593_DA.027.png">．求導(dǎo)，得

， 7分

令，得，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

—

↗

極大

↘

極小

↗

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值. 10分

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，所以對(duì)于任意，.

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，所以對(duì)于任意，.

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，，

所以函數(shù)在上存在唯一，使得，

故函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)（即和）. 12分.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.函數(shù)的定義域及其求法．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)，，是常數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)的取值范圍；

（3）證明：，存在，使．

 

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已知集合，，則（ ）

A．{x|10＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}

 

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在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c， ,a=b=3，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則 =( )

A.0 B.6 C.9 D.12

 

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若，其中t∈（0，π），則t=( )

A. B. C. D.

 

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已知下列5個(gè)命題，其中正確的命題____（寫出所有正確命題的代號(hào)）

①函數(shù) ，x∈[1,4]的最大值是4.

②底面直徑和高都是2的圓柱側(cè)面積，等于內(nèi)切球的表面積;

③在抽樣過程，三種抽樣方法抽取樣本時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性不相等；

④ 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)的弦,的周長(zhǎng)是；

⑤“”的否定，“”

 

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設(shè)，則（ ）

A. B. C. D.

 

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己知函數(shù)，為的等差數(shù)列，則_____________．

 

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已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和,且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍

 

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