Question

已知函數(shù)，，是常數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)圖象上的點都在第一象限，試求常數(shù)的取值范圍；

（3）證明：，存在，使．

 

Answer 1

（1）；（2）；（2）答案詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求導函數(shù)，由導數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為，利用直線的點斜式方程求出的圖象在點處的切線方程；（2）由，故函數(shù)圖象上的點都在第一象限等價于恒成立，當時，，滿足；當時，顯然不滿足；當時，參變分離為，求右側(cè)函數(shù)的最小值即可，從而得關于的不等式，解不等式的的取值范圍；（3）依題意，存在，使等價于方程函數(shù)有零點.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為,

，

函數(shù)的圖象在點處的切線為，

即 4分

（2）①時，，因為，所以點在第一象限，依題意，

②時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，時，，，從而“，”不成立

③時，由得，設，

	－
	↘	極小值	↗

 

，從而，

綜上所述，常數(shù)的取值范圍 8分

（3）計算知

設函數(shù)

，

當或時，

，

因為的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在，使，即，使；

當時，、，而且、之中至少一個為正，由均值不等式知，，等號當且僅當時成立，所以有最小值，且

，

此時存在（或），使

綜上所述，，存在，使 12分

考點：1、導數(shù)幾何意義；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值.