【題目】已知數(shù)列{an},從中選取第i1項、第i2項、…、第im項(i1<i2<…<im),若,則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列.規(guī)定:數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列.
(Ⅰ)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列;
(Ⅱ)已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為,長度為q的遞增子列的末項的最小值為.若p<q,求證:<;
(Ⅲ)設無窮數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù),且任意兩項均不相等.若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1,且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(s=1,2,…),求數(shù)列{an}的通項公式.
【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.
(Ⅱ)見解析;
(Ⅲ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意結合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可;
(Ⅱ)利用數(shù)列的性質和遞增子列的定義證明題中的結論即可;
(Ⅲ)觀察所要求解數(shù)列的特征給出一個滿足題意的通項公式,然后證明通項公式滿足題中所有的條件即可.
(Ⅰ)滿足題意的一個長度為4的遞增子列為:1,3,5,6.
(Ⅱ)對于每一個長度為的遞增子列,都能從其中找到若干個長度為的遞增子列,此時,
設所有長度為的子列的末項分別為:,
所有長度為的子列的末項分別為:,
則,
注意到長度為的子列可能無法進一步找到長度為的子列,
故,
據(jù)此可得:.
(Ⅲ)滿足題意的一個數(shù)列的通項公式可以是,
下面說明此數(shù)列滿足題意.
很明顯數(shù)列為無窮數(shù)列,且各項均為正整數(shù),任意兩項均不相等.
長度為的遞增子列末項的最小值為2s-1,
下面用數(shù)學歸納法證明長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有個:
當時命題顯然成立,
假設當時命題成立,即長度為k末項為2k-1的遞增子列恰有個,
則當時,對于時得到的每一個子列,
可構造:和兩個滿足題意的遞增子列,
則長度為k+1末項為2k+1的遞增子列恰有個,
綜上可得,數(shù)列是一個滿足題意的數(shù)列的通項公式.
注:當時,所有滿足題意的數(shù)列為:,
當時,數(shù)列對應的兩個遞增子列為:和.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立.
(Ⅰ)用表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)設為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1?若存在,求出的所有值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:
交付金額(元) 支付方式 | (0,1000] | (1000,2000] | 大于2000 |
僅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
僅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.
的分組 | |||||
企業(yè)數(shù) | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例;
(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)
附:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,設點集,令.從集合Mn中任取兩個不同的點,用隨機變量X表示它們之間的距離.
(1)當n=1時,求X的概率分布;
(2)對給定的正整數(shù)n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點,過作拋物線的動弦, ,并設它們的斜率分別為, .
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若,求證:直線的斜率為定值,并求出其值;
(III)若,求證:直線恒過定點,并求出其坐標.
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