Question

4．如圖，平面ABC⊥平面α，且平面ABC∩平面α=BC，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=$\frac{5π}{6}$，平面α內(nèi)一動點P滿足∠PAB=$\frac{π}{6}$，則PC的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y，0），可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$，可得$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+0}$．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
A$（0，0，\frac{1}{2}）$，B$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，C$（0，\frac{3\sqrt{3}}{2}，0）$，設(shè)P（x，y，0），則$\overrightarrow{AP}$=$（x，y，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AB}$=$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•\sqrt{0+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•cos\frac{π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+$\frac{1}{4}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•cos\frac{π}{6}$，
∴$\frac{3}{4}{y}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$y+$\frac{1}{16}$=$\frac{3}{4}$$（{x}^{2}+{y}^{2}+\frac{1}{4}）$，
∴${x}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{1}{6}$．
$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+0}$=$\sqrt{（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+\frac{5}{4}}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PC的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．