Question

13．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：BE⊥平面PAC．
（2）求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BE⊥PC，PB⊥AC，AC⊥BC，PB∩BC=B，從而AC⊥平面PBC，進(jìn)而AC⊥BE，由此能證明BE⊥平面PAC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)锽P=BC，EP=EC，所以BE⊥PC…（2分）
因?yàn)镻B⊥平面ABC，所以PB⊥AC…（4分）
又AC⊥BC，PB∩BC=B，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BE．又PC∩AC=C…（5分）
所以BE⊥平面PAC…（6分）
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系…（7分）
則B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），$F（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}）$
$\overrightarrow{BE}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）…（8分）
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）…（9分）
取平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）…（10分）
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
所以平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．