Question

為了倡導(dǎo)健康、低碳、綠色的生活理念，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)鼓勵市民租用公共自行車出行，公共自行車按每車每次的租用時間進(jìn)行收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
①租用時間不超過1小時，免費(fèi)；
②租用時間為1小時以上且不超過2小時，收費(fèi)1元；
③租用時間為2小時以上且不超過3小時，收費(fèi)2元；
④租用時間超過3小時的時段，按每小時2元收費(fèi)（不足1小時的部分按1小時計算）．
已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付租車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）分別記“甲所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件A1，A2，A3 ，分別記“乙所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，記甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此根據(jù)已知條件利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計算公式能求出甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，
分別記“甲所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件A1，A2，A3 ，它們彼此互斥，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，
∴P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，
分別記“乙所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，
且P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，
∴P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2，（2分）
由題知，A₁，A₂．A₃與B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，（3分）
記甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）
=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2
=0.37．（6分）
（Ⅱ） 據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，（7分）
P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.2，
P（ξ=1）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）
=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）
=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，
P（ξ=3）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）
=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，
P（ξ=4）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02．（10分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4．（11分）
答：甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同的概率為0.37，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1.4．（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．