Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx（a∈R）．
（1）若a=

1

5

，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a為整數(shù)，且函數(shù)的y=f（x）圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=

1

5

代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，求出f（1）的值，然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）把函數(shù)的y=f（x）圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其最大值大于0，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，解關(guān)于a的不等式得答案．

解答： 解：（1）a=

1

5

，則f（x）=

2

5

x²+

21

5

x+lnx，
f′(x)=

4

5

x+

21

5

+

1

x

．
f′(1)=

4

5

+

21

5

+1=6．
又f（1）=

2

5

+

21

5

=

23

5

．
∴f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線方程為y-

23

5

=6(x-1)．
即30x-5y-7=0；
（2）由f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx（a∈R）．
得x＞0，
f′(x)=4ax+a+4+

1

x

=

(ax+1)(4x+1)

x

．
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，可知x∈(0，-

1

a

)時(shí)f′（x）＞0，x∈(-

1

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0．
∴x∈(0，-

1

a

)時(shí)，f（x）為增函數(shù)，x∈(-

1

a

，+∞)時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
故當(dāng)x=-

1

a

時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值．
由f（-

1

a

）=2a×(-

1

a

)2+(a+4)(-

1

a

)+ln(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-

2

a

-1＞0，
得ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
由a為整數(shù)，
驗(yàn)證a=-1時(shí)，ln(-

1

a

)=0，

2

a

+1=-1，滿(mǎn)足ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
當(dāng)a＜-1時(shí)，ln(-

1

a

)＜0，

2

a

+1≥0，不滿(mǎn)足ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
∴a的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．