Question

設(shè)f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=

x(2-x)，0≤x≤2 (x-2)(x-a)，x＞2

（1）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式．
（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上的最大值為g（a）的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)-3≤x＜0、x＜-3，利用已知函數(shù)的解析式，即可求得結(jié)論；
（2）因為f（x）是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[-4，4]上的最大值即為它在區(qū)間[0，4]上的最大值，分類討論，即可求得結(jié)論；

解答： 解：（1）令x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=

-x(x+2)，-2≤x＜0 (x+2)(x+a)，x＜-2

，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=

-x(x+2)，-2≤x＜0 (x+2)(x+a)，x＜-2

，
（2）因為f（x）是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[-4，4]上的最大值即為它在區(qū)間[0，4]上的最大值，
而函數(shù)f（x）恒過點（2，0），
當(dāng)a≤2時，f（x）在[0，1]和[2，4]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，如圖所示
故x∈[0，2]上的最大值為f（1）=1，在（2，4]上的最大值為f（4）=8-2a，
當(dāng)f（4）≥f（1）時，即8-2a≥1時，解得a≤

7

2

，函數(shù)的最大值為f（4），
當(dāng)a＞2時，f（x）在[0，1]和[

a+2

2

，4]上單調(diào)遞增，在[1，

a+2

2

]上單調(diào)遞減，如圖所示
故x∈[0，2]上的最大值為f（1）=1，在（2，4]上的最大值為f（4）=8-2a，
當(dāng)f（4）≥f（1）時，即8-2a≥1時，解得2＜a≤

7

2

，函數(shù)的最大值為f（4），
當(dāng)f（4）＜f（1）時，即8-2a＜1時，解得a＞

7

2

，函數(shù)的最大值為f（1），
綜上所述g（a）=

8-2a，a≤ 7 2 1，a＞ 7 2

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．