Question

已知函數(shù)，其中實數(shù)a為常數(shù)．
(I)當a=-l時，確定的單調(diào)區(qū)間：
(II)若f(x)在區(qū)間（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為-3，求a的值；
(Ⅲ)當a=-1時，證明．

Answer 1

(Ⅰ)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).(Ⅱ). (Ⅲ) 見解析.

試題分析：(Ⅰ)通過求導數(shù)，時，時，，單調(diào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)遵循“求導數(shù)，求駐點，討論區(qū)間導數(shù)值正負，確定端點函數(shù)值，比較大小”等步驟，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情況加以討論.
(Ⅲ) 根據(jù)函數(shù)結構特點，令，利用“導數(shù)法”，研究有最大值，根據(jù), 得證.
試題解析：(Ⅰ)當時，,∴，又,所以
當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時，，在區(qū)間上為減函數(shù)，
即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).    4分
(Ⅱ)∵，①若，∵,則在區(qū)間上恒成立，
在區(qū)間上為增函數(shù)，，∴，舍去;
②當時，∵，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，
，∴，舍去;
③若，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時， ，在區(qū)間上為減函數(shù)，
，∴.
綜上.                                    9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，當時，有最大值，最大值為，即，
所以，                              10分
令，則，
當時，，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時，，在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以當時，有最大值，12分
所以,
即.                            13分