Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求證：平面BEF∥平面DA₁C₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）充分利用已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)．只要證明BC⊥平面DAA₁ 即可；
（2）利用面面平行的判斷，只要證明EF∥平面DA₁C₁ 和BE∥平面DA₁C₁即可．

解答： 證明：（1）∵△ABC為正三角形，D是BC的中點(diǎn)
∴BC⊥AD，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AA₁ …（3分）
∵AD，AA₁是平面DAA₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴BC⊥平面DAA₁ …（5分）
∵A₁D?平面DAA₁
∴BC⊥A₁D …（6分）
（2）∵D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)，
∴EF是△A₁B₁C₁的邊A₁C₁的中位線
∴EF∥A₁C₁ …（7分）
∵A₁C₁?平面DA₁C₁，EF?平面DA₁C₁，
∴EF∥平面DA₁C₁，…（8分）
∵EC₁∥BD且EC₁=BD
∴四邊形BDC₁E為平行四邊形
∴BE∥DC₁ …（9分）
∵DC₁?平面DA₁C₁，BE?平面DA₁C₁，
∴BE∥平面DA₁C₁，…（10分）
∵BE，EF是平面BEF的兩條相交直線
∴平面BEF∥平面DA₁C₁ …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱柱中的線線垂直和面面平行的判斷，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三棱柱的性質(zhì)以及線面垂直和線面平行的判定定理解答．