【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2﹣bx(a,b∈R),g(x)= ﹣lnx.
(1)當a=﹣1時,f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;
(2)當a,b都為0時,斜率為k的直線與曲線y=f(x)交A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2)于兩點,求證:x1< .
【答案】
(1)解:∵a=﹣1∴f(x)=lnx+x2﹣bx,由題意可知,f(x)與g(x)的定義域都為(0,+∞).
∵ =
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又a=﹣1時,f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,
∴f(x)=lnx+x2﹣bx在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴ 對x∈(0,+∞)恒成立
即 對x∈(0,+∞)恒成立,∴只需 ,
∵x>0,∴ (當且僅當 時,等號成立),
∴ ,∴b的取值范圍為 .
(2)證明: .
要證 ,即證 ,
等價于證 ,令 ,
則只要證 ,由t>1,知lnt>0,
故等價于證lnt<t﹣1<tlnt(t>1),(*)
設(shè)m(t)=t﹣1﹣lnt(t>1),則 ,
故m(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),
當t>1時,m(t)=t﹣1﹣lnt>m(1)=0,即t﹣1>lnt.
設(shè)h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t>1),則h'(t)=lnt>0(t>1),
故h(t)在(1,+∞)上是增函數(shù).
當t>1時,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1).
由可知(*)成立,故
【解析】(1)化簡函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣bx,求出f(x)與g(x)的定義域都為(0,+∞).求出函數(shù)的導數(shù),判斷g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,利用f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,推出 對x∈(0,+∞)恒成立,即 對x∈(0,+∞)恒成立利用基本不等式求解最值,即可.(2) .要證 ,等價于證 ,令 ,等價于證lnt<t﹣1<tlnt(t>1),設(shè)m(t)=t﹣1﹣lnt(t>1),則 ,通過函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+2kx﹣4,若對任意x∈R,f(x)﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2,且離心率為 .
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若經(jīng)過點(0, )且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q. (Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量 與 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0),A1 , A2是實軸頂點,F(xiàn)是右焦點,B(0,b)是虛軸端點,若在線段BF上(不含端點)存在不同的兩點p1(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)構(gòu)成以A1A2為斜邊的直角三角形,則雙曲線離心率e的取值范圍是( )
A.( ,+∞)
B.( ,+∞)
C.(1, )
D.( , )
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【題目】△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, + = ,b=4,且a>c.
(1)求ac的值;
(2)若△ABC的面積為2 ,求a,c的值.
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【題目】如圖,已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , |F1F2|=4,P是雙曲線右支上的一點,F(xiàn)2P與y軸交于點A,△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q,若|PQ|=1,則雙曲線的離心率是( )
A.3
B.2
C.
D.
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【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)函數(shù) ,若在[1,e]上至少存在一點x0 , 使得f(x0)≥g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在2017年初的時候,國家政府工作報告明確提出,2017年要堅決打好藍天保衛(wèi)戰(zhàn),加快解決燃煤污染問題,全面實施散煤綜合治理.實施煤改電工程后,某縣城的近六個月的月用煤量逐漸減少,6月至11月的用煤量如下表所示:
(1)由于某些原因, 中一個數(shù)據(jù)丟失,但根據(jù)6至9月份的數(shù)據(jù)得出少樣本平均值是3.5,求出丟失的數(shù)據(jù);
(2)請根據(jù)6至9月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)現(xiàn)在用(2)中得到的線性回歸方程中得到的估計數(shù)據(jù)與10月11月的實際數(shù)據(jù)的誤差來判斷該地區(qū)的改造項目是否達到預期,若誤差均不超過0.3,則認為該地區(qū)的改造已經(jīng)達到預期,否則認為改造未達預期,請判斷該地區(qū)的煤改電項目是否達預期?(參考公式:線性回歸方程,其中)
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