【題目】已知函數(shù)，，且與的圖象有一條斜率為1的公切線（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求；

（2）設函數(shù)，證明：當時，有且僅有2個零點.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，分別求出函數(shù)圖象上斜率為1的切線，再根據(jù)切線方程為同一方程即可求出；

（2）根據(jù)第一問結果可得，，求導，換元，令，通過二次函數(shù)知識判斷的符號，得其單調性，求出極值，再結合零點存在性定理即可求出．

（1）令，可得，.

在處的切線方程為，即.

令，，，

在處的切線方程為，即，

故，

可得.

（2）證明：由（1）可得，

，

令，則，，

當時，有兩根，且，

由，得，

在上，，在上，，

此時，.

又時，，時，.

故在和上，各有1個零點.

所以時，有2個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫，設，并在公路北側建造邊長為的正方形無頂中轉站CDEF（其中EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1，且.

（1）求關于的函數(shù)解析式，并求出定義域；

（2）如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問：取何值時，該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，．

（1）求證：B1C⊥AB；

（2）若∠CBB1＝60°，AC＝BC，且點A在側面BB1C1C上的投影為點O，求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，P，Q，M，N，H，R是各條棱的中點.

①直線平面；②；③P，Q，H，R四點共面；④平面.其中正確的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直棱柱中，底面是菱形，，點F，Q是棱，的中點，，是棱，上的點，且．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）設曲線與軸正半軸交于點，求曲線在該點處的切線方程；

（Ⅱ）設方程有兩個實數(shù)根，，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】今年，新型冠狀病毒來勢兇猛，老百姓一時間“談毒色變”，近來，有關喝白酒可以預防病毒的說法一直在民間流傳，更有人拿出“醫(yī)”字的繁體字“醫(yī)”進行解讀為：醫(yī)治瘟疫要喝酒，為了調查喝白酒是否有助于預防病毒，我們調查了1000人的喝酒生活習慣與最終是否得病進行了統(tǒng)計，表格如下：

每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再從這6人中選出2人，求這2人中無有酒癮的人的概率；

（2）請通過上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為是否得病與是否常喝酒有關？并對民間流傳的說法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計

得病

不得病

250

650

合計

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)和都是定義在上的單調減函數(shù)，且，若對于任意，存在，，使得成立，則稱是在上的“被追逐函數(shù)”，若，下述四個結論中正確的是（ ）

①是在上的“被追逐函數(shù)”；

②若和函數(shù)關于軸對稱，則是在上的“被追逐函數(shù)”；

③若是在上的“被追逐函數(shù)”，則；

④存在，使得是在上的“被追逐函數(shù)”.

A.①③④B.①②④C.②③D.①③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在一旅游區(qū)內原有兩條互相垂直且相交于點O的道路l1，l2，一自然景觀的邊界近似為圓形，其半徑約為1千米，景觀的中心C到l1，l2的距離相等，點C到點O的距離約為10千米.現(xiàn)擬新建四條游覽道路方便游客參觀，具體方案：在線段OC上取一點P，新建一條道路OP，并過點P新建兩條與圓C相切的道路PM，PN（M，N為切點），同時過點P新建一條與OP垂直的道路AB（A，B分別在l1，l2上）.為促進沿途旅游經(jīng)濟，新建道路長度之和越大越好，求新建道路長度之和的最大值.（所有道路寬度忽略不計）

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