Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1，x≤0 lnx，x＞0

，則函數(shù)y=f[f（x）+1]的零點個數(shù)（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，函數(shù)y=f[f（x）+1]=

f(x)+2 ， f(x)≤-1 ln[f(x)+1] ，f(x)＞-1

．再分①當(dāng)x≤-2時、②當(dāng)-2＜x≤0時、③當(dāng)0＜x≤

1

e

時、④當(dāng)x＞

1

e

時四種情況，分別求得函數(shù)的零點，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由題意可得，函數(shù)y=f[f（x）+1]=

f(x)+2 ， f(x)≤-1 ln[f(x)+1] ，f(x)＞-1

．
①當(dāng)x≤-2時，f（x）=x+1≤-1，f（x）+1≤0，函數(shù)y=f[f（x）+1]=f（x+2）=x+3，顯然有一個零點為x=-3．
②當(dāng)-2＜x≤0時，f（x）=x+1，f（x）+1＞0，函數(shù)y=f[f（x）+1]=ln[f（x）+1]=ln（x+2），顯然有一個零點為x=-1．
③當(dāng)0＜x≤

1

e

 時，f（x）=lnx≤-1，f（x）+1≤0，函數(shù)y=f[f（x）+1]=f[lnx+1]=lnx+2，顯然有一個零點為x=

1

e2

．
④當(dāng)x＞

1

e

時，f（x）=lnx＞-1，f（x）+1＞0，函數(shù)y=f[f（x）+1]=f[lnx+1]=ln[lnx+1]，顯然有一個零點為x=1．
綜上，函數(shù)y=f[f（x）+1]的零點個數(shù)為4，
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．