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16.已知函數(shù)f(x)=lnxxx
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)k,證明不等式(e+k2)ln(e+k2)>e+2k2恒成立.

分析 (1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,可得極大值,無(wú)極小值;
(2)由題意可得要證原不等式成立,令x=e+k2,可得原不等式即為xlnx>2x-e,即證x>e時(shí),即xlnx-2x+e>0,令g(x)=xlnx-2x+e(x>e),求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnxxx(x>0)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1lnxx2,
1lnxx2=0,可得x=e,
當(dāng)x>e時(shí),f′(x)<0;當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)>0.
可得f(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞);
f(x)的極大值為f(e)=1ee,無(wú)極小值;
(2)證明:要證原不等式成立,
令x=e+k2,可得原不等式即為xlnx>2x-e,
即證x>e時(shí),xlnx>2x-e,
即xlnx-2x+e>0,
令g(x)=xlnx-2x+e(x>e),可得g′(x)=1+lnx-2=lnx-1,
當(dāng)x>e時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增;
即有g(shù)(x)>g(e)=elne-2e+e=0,
則x>e時(shí),xlnx>2x-e成立,
即有對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)k,
不等式(e+k2)ln(e+k2)>e+2k2恒成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查不等式成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)法,判斷單調(diào)性,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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