Question

4．在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展開式中．
（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)；
（3）求系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）由條件列出不等式組，求得r的范圍，可得結(jié)論．
（3）利用通項(xiàng)公公式求得系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答 解：（1）在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展開式中，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
該項(xiàng)為${T_5}=C_8^4{（{\sqrt{x}}）^4}•{（{-\frac{2}{x^2}}）^4}=\frac{1120}{x^6}$．
（2）設(shè)第r項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，即$\left\{\begin{array}{l}C_8^r•{2^r}≥C_8^{r-1}•{2^{r-1}}\\ C_8^r•{2^r}≥C_8^{r+1}•{2^{r+1}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{9-r}\\ \frac{1}{8-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$，
從而5≤r≤6，故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).${T_6}=C_8^5{（{-2}）^5}{x^{-10}}{x^{\frac{3}{2}}}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}，{T_7}=C_8^6{（{-2}）^6}{x^{-12}}{x^{\frac{2}{2}}}=-1792{x^{-11}}$，
（3）系數(shù)最小的項(xiàng)為第6項(xiàng)：${T_6}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．