Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|
（I）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≥4．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由不等式的性質(zhì)得：f（x）≥|a-1|，要使不等式f（x）≥2a恒成立，則|a-1|≥2a，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）≥4得，

x≤1 3-2x≥4

，或

1＜x＜2 1≥4

，或

x≥2 2x-3≥4

．
解得：x≤-

1

2

，或x≥

7

2

，故原不等式的解集為{x|x≤-

1

2

，或x≥

7

2

}．
（Ⅱ）由不等式的性質(zhì)得：f（x）≥|a-1|，
要使不等式f（x）≥2a恒成立，則|a-1|≥2a，
解得：a≤-1或a≤

1

3

，
所以實數(shù)a的取值范圍為(-∞，

1

3

]．

點評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．