【題目】如圖,已知正四面體D﹣ABC(所有棱長均相等的三棱錐),P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點,AP=PB, = =2,分別記二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角為α、β、γ,則( )

A.γ<α<β
B.α<γ<β
C.α<β<γ
D.β<γ<α

【答案】B
【解析】解法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面△ABC的中心為O.
不妨設(shè)OP=3.則O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6 ),
Q ,R ,
= , =(0,3,6 ), =( ,5,0), =
=
設(shè)平面PDR的法向量為 =(x,y,z),則 ,可得
可得 = ,取平面ABC的法向量 =(0,0,1).
則cos = = ,取α=arccos
同理可得:β=arccos .γ=arccos

∴α<γ<β.
解法二:如圖所示,連接OD,OQ,OR,過點O發(fā)布作垂線:OE⊥DR,OF⊥DQ,OG⊥QR,垂足分別為E,F(xiàn),G,連接PE,PF,PG.
設(shè)OP=h.
則cosα= = =
同理可得:cosβ= = ,cosγ= =
由已知可得:OE>OG>OF.
∴cosα>cosγ>cosβ,α,β,γ為銳角.
∴α<γ<β.
故選:B.


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