Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

5

5

，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓上，滿足PF₁⊥F₁F₂，且S △PF1F2=

4 5

5

．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）若點A，B是橢圓C上的兩點，求△AOB的最大面積；并當△AOB面積取最大值時，求AB的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知|PF₁|=

(1- c2 a2 )×b2

=

b2

a

，

c

a

=

5

5

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當k不存在時，△AOB面積的最大值為

5

，此時|AB|=2

2

；當直線的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+m，代入橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1，得：（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，由此利用韋達定理、橢圓弦長公式能求出△AOB的最大面積，當△AOB面積有最大值為

5

時，|AB|∈[2

2

，

10

]．

解答： 解：（1）由題意知|PF₁|=

(1- c2 a2 )×b2

=

b2

a

，

c

a

=

5

5

，
∴

1

2

×2c×

b2

a

=

4 5

5

，又a²=b²+c²，
解得b²=4，a²=5，
∴橢圓C的標準方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當k不存在時，由題意得S=2|x|

1- x2 5

≤

5

，
當且僅當

x2

5

=

1

2

，
△AOB面積的最大值為

5

，此時|AB|=2

2

．
②當直線的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+m，
代入橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1，得：
（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，
∴x1+x2=

-10km

4+5k2

，x1x2=

5m2-20

4+5k2

，
|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

4+5k2-m2

4+5k2

=L，
S=

1

2

•L•d=

L

2

•

|m|

1+k2

=

2 5 |m|• 4+5k2-m2

4+5k2

≤

2 5 • m2+4+5k2-m2 2

4+5k2

=

5

，
當且僅當4+5k²-m²=m²，即m²=

4+5k2

2

，△AOB面積有最大值

5

，
∴|AB|=

1+k2

•

4 5 • 4+5k2-m2

4+5k2

=2

10

•

1+k2 4+5k2

=2

10

•

1 5 + 1 5(4+5k2)

∈（2

2

，

10

]．
綜上，當△AOB面積有最大值為

5

時，|AB|∈[2

2

，

10

]．

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查三角形面積的求法，考查弦長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．