【題目】已知函數(shù)。
(1)若,試判斷的零點的個數(shù)。
(2)若恒成立,求的取值范圍。
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)若,對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)性,從而可判斷的零點的個數(shù);(2)法一: 恒成立等價于恒成立,令,設(shè),則,再令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,從而可得到的單調(diào)性,即可求得的取值范圍;法二:構(gòu)造令,得到,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,即可得的最小值,從而可得的取值范圍.
試題解析:(1)若, , .
∴當(dāng), , 單調(diào)遞減;當(dāng), , 單調(diào)遞增.
∴.
∴函數(shù)的零點個數(shù)為0
(2)若,變形得到: .
法一:令,得到.
設(shè),則.
令,則,可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
∴,則.
∴在上單調(diào)遞減
當(dāng), ,則.
∴.
法二:令,得到,
令,則, ,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
∴,即在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時, ,即,
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生,某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司的經(jīng)營狀況,對該公司最近六個月的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制了相應(yīng)的折線圖:
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并
預(yù)測公司2017年4月的市場占有率;
(2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場,公司擬再采購一批單車,現(xiàn)有采購成本分別為元/輛和1200元/輛的、兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最
多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致單車使用壽命各不相同,考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益,該公司決定先對這兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如右表:經(jīng)測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元,不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年,且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率,如果你是公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款車型?
參考公式:回歸直線方程為,其中, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地有一企業(yè)2007年建廠并開始投資生產(chǎn),年份代號為7,2008年年份代號為8,依次類推.經(jīng)連續(xù)統(tǒng)計9年的收入情況如下表(經(jīng)數(shù)據(jù)分析可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系):
年份代號() | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
當(dāng)年收入(千萬元) | 13 | 14 | 18 | 20 | 21 | 22 | 24 | 28 | 29 |
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)試預(yù)測2020年該企業(yè)的收入.
(參考公式: , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體棱長為,線段上有兩個動點,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A.平面
B.始終在同一個平面內(nèi)
C.平面
D.三棱錐的體積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中, , . ,且平面, ,點為上任意一點.
(1)求證: ;
(2)點在線段上運(yùn)動(包括兩端點),若平面與平面所成的銳二面角為60°,試確定點的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格,某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.
(Ⅰ)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù);
(Ⅱ)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?
(Ⅲ)從(Ⅱ)抽取的人中,選出人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
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