Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+ax+b（a，b∈R）$在x=2處取得極小值$-\frac{4}{3}$．
（1）求f（x）；
（2）若$\frac{1}{3}{x^3}+ax+b≤{m^2}+m+\frac{10}{3}$對(duì)x∈[-4，3]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)利用f′（2）=0，得a；在x=2處取得極小值-$\frac{4}{3}$，得b．然后求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的最值，要使f（x）≤m²+m+$\frac{10}{3}$在[-4，3]上恒成立，只需m²+m+$\frac{10}{3}$≥$\frac{28}{3}$，求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0，得a=-4；
再由f（2）=-$\frac{4}{3}$，得b=4，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；
（2）因?yàn)閒（-4）=-$\frac{4}{3}$，f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（2）=-$\frac{4}{3}$，
f（3）=1，所以函數(shù)f（x）在[-4，3]上的最大值為$\frac{28}{3}$，
要使f（x）≤m²+m+$\frac{10}{3}$在[-4，3]上恒成立，
只需m²+m+$\frac{10}{3}$≥$\frac{28}{3}$，解得m≥2或m≤-3．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的求解，考查分析問題解決問題的能力．