如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點，（如圖建立空間直角坐標系）
（1）求證：D1F⊥平面ADE；
（2）求異面直線EF和CB1所成的角．
考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）依題意分別求得A，E，D1和F的坐標取得）
AE
和
D1F
，二者相乘等于0即可證明出AE⊥D1F進而根據(jù)線面垂直的性質證明出D1F⊥AD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出D1F⊥平面ADE．
（2）分別求得
EF
和
CB1
，利用向量的夾角公式求得異面直線所成的角．
解答： （1）證明：依題意知D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
AE
=（0，0，1），
D1F
=（0，1，-2），∴
AE
•
D1F
=0，
∴AE⊥D1F；
∵AD⊥平面CDD1C1，D1F?平面CDD1C1，
∴D1F⊥AD，
∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴D1F⊥平面ADE．
（2）解：依題意可知B1（1，1，1），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），
∴
EF
=（2，1，1），
CB1
=（1，0，1），
∴cos＜
EF
，
CB1
）=
EF
•
CB1
|
EF
|•|
CB1|
=
2+0+1
4+1+1
•
1+0+1
=
3
2
，
∴異面直線EF和CB1所成的角為30°．
點評：本題主要考查了線面垂直和空間向量的應用．考查了學生綜合分析和運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和Sn=3n-t（n∈N*）．數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項b1=5-2t，公差d=-2，其中t∈R．
（1）求實數(shù)t的值；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{2 an-1}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

第22屆索契冬奧會期間，來自俄羅斯國際奧林匹克大學的男、女大學生共9名志愿者被隨機地平均分配到速滑、冰壺、自由式滑雪這三個崗位服務，且速滑崗位至少有一名女大學生志愿者的概率是
16
21

（Ⅰ）求冰壺崗位至少有男、女大學生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）設隨機變量X為在自由式滑雪崗位服務的男大學生志愿者的人數(shù)，求X的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=24，求：
（1）數(shù)列{an}的通項公式；
（2）數(shù)列{|an|}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，an=（2n-3）×（
1
2
）n，求數(shù)列的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=
π
2
，AB=BC=2，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE；
（Ⅱ）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若一次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，且最小值為0，最大值為2，則f（x）的解析式為
 
．

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