Question

若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-t（n∈N^*）．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)b₁=5-2t，公差d=-2，其中t∈R．
（1）求實(shí)數(shù)t的值；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1，a₁=S₁=3-t，由此能求出t=1．
（2）由（1）得等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=3，且公差為2，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-t（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-t）-（3^n-1-t）=2×3^n-1，
又∵a₁=S₁=3-t，
∴3-t=2×3^1-1，解得t=1．
（2）∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)b₁=5-2t，公差d=-2，
∴由（1）得等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=3，
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+4n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．