Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=e

x

2

-x+a，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式e^x≥x²-2ax+1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=

1

2

e

x

2

-1，∴由f'（x）＞0得，e

x

2

＞2，即x＞ln4，
∴遞增區(qū)間（ln4，+∞）．
由f'（x）＜0，解得x＜ln4，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，ln4），
∴當(dāng)x=ln4時(shí)，函數(shù)取得極小值為f（ln4）=a+2-ln4，無極大值．
（2）原不等式可化為：2a≥

x2-ex+1

x

，
令g（x）=

x2-ex+1

x

，
則g′(x)=(x-1)•

x+1-ex

x2

，
令M（x）=x+1-e^x，可得M′（x）=1-e^x在x∈（0，+∞）上恒小于等于零，
∴函數(shù)g（x）=

x2-ex+1

x

在（0，1）上遞增，在（1，+∞）遞減，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上有最大值g（1）=2-e，
即所求a的范圍是a∈[

2-e

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．